軸となる解き方

対象の軸 \(y=ax+b\) に関して点 \(A(s,t)\) に対称な点 \(B(p,q)\) を求める
※\(a, b, s, t\)は与えられる、もしくは他の情報を用いて導出する

対象の軸の垂線の傾きを求める：
\[ \frac{q-t}{p-s} = -\frac{1}{a} \]

中点が軸上にあることを確認する：
\[ a(\frac{s+p}{2})+b = \frac{t+q}{2} \]

2式を連立して解くと、点 \(B(p,q)\) が求まる
軸に関して対称な軸を求める場合も同様の手順で求められる

軸となる解き方

\(y=ax^2+bx+c\) の頂点の軌跡を求める
※\(a,b,c\)は与えられる、もしくは他の情報を用いて導出する

頂点の座標を仮定する：
\[ P(X,Y) \]

与式を平方完成する：
\[ y = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a}+c \]

平方完成した式から \(X\) と \(Y\) を文字を使って表す：
\[ X = -\frac{b}{2a}, \quad Y = -\frac{b^2}{4a}+c \]

2式を連立して \(X\) と \(Y\) 以外の文字を消去すると、頂点の軌跡が求まる
※与式で範囲が指定されている場合、\(x\)の範囲も忘れずに考える

例題

放物線 \(y=x^2+(2t-10)x-4t+16, \quad (t≧0)\) の頂点の軌跡を求める

頂点の座標を仮定する：
\[ P(X,Y) \]

与式を平方完成する：
\[ y = \lbrace x + (t-5)\rbrace^2 - t^2 +6t -9 \]

平方完成した式から \(X,Y\) を文字を使って表す：
\[ X = -t+5, \quad Y = -t^2 +6t -9, \quad t≧0 \]

左2式を連立して \(t\) を消去する：
\[ t = -X + 5, \quad Y = -(5-X)^2 + 6(5-X) -9 \]

\(t=-X+5\) を利用して\(X\)の範囲を求める：
\[ t ≧ 0, \quad -X + 5 ≧ 0 \Rightarrow X ≦ 5 \]

仮定した座標 \(X, Y\) を \(x,y\) に置き換える：
\[ y = -x^2 + 4x -4, \quad x≦5 \]